Resolver {l}{-23.8501x-43.5142*(y+50)=-50y}{-23.8501(y+50)+43.5142x=50x|}

$$\left. \begin{array} { l } { - 23.8501 x - 43.5142 * ( y + 50 ) = - 50 y } \\ { - 23.8501 ( y + 50 ) + 43.5142 x = 50 x | } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{1192505000000}{12217857433} = -97\frac{7372828999}{12217857433} \approx -97.603446966$$

$$y = -\frac{286602871650}{12217857433} = -23\frac{5592150691}{12217857433} \approx -23.457703057$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -43.5142 eta y+50 biderkatzeko.

$$-23.8501x-43.5142y-2175.71=-50y$$

Gehitu 50y bi aldeetan.

$$-23.8501x-43.5142y-2175.71+50y=0$$

6.4858y lortzeko, konbinatu -43.5142y eta 50y.

$$-23.8501x+6.4858y-2175.71=0$$

Gehitu 2175.71 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -23.8501 eta y+50 biderkatzeko.

$$-23.8501y-1192.505+43.5142x=50x$$

Kendu 50x bi aldeetatik.

$$-23.8501y-1192.505+43.5142x-50x=0$$

-6.4858x lortzeko, konbinatu 43.5142x eta -50x.

$$-23.8501y-1192.505-6.4858x=0$$

Gehitu 1192.505 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-23.8501y-6.4858x=1192.505$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71,-6.4858x-23.8501y=1192.505$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71$$

Egin ken \frac{32429y}{5000} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-23.8501x=-6.4858y+2175.71$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23.8501 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{10000}{238501}\left(-6.4858y+2175.71\right)$$

Egin -\frac{10000}{238501} bider -\frac{32429y}{5000}+2175.71.

$$x=\frac{64858}{238501}y-\frac{21757100}{238501}$$

Ordeztu \frac{64858y-21757100}{238501} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-6.4858x-23.8501y=1192.505).

$$-6.4858\left(\frac{64858}{238501}y-\frac{21757100}{238501}\right)-23.8501y=1192.505$$

Egin -6.4858 bider \frac{64858y-21757100}{238501}.

$$-\frac{1051640041}{596252500}y+\frac{7055609959}{11925050}-23.8501y=1192.505$$

Gehitu -\frac{1051640041y}{596252500} eta -\frac{238501y}{10000}.

$$-\frac{12217857433}{477002000}y+\frac{7055609959}{11925050}=1192.505$$

Egin ken \frac{7055609959}{11925050} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{12217857433}{477002000}y=\frac{5732057433}{9540040}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{12217857433}{477002000} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{286602871650}{12217857433}$$

Ordeztu -\frac{286602871650}{12217857433} y balioarekin x=\frac{64858}{238501}y-\frac{21757100}{238501} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{64858}{238501}\left(-\frac{286602871650}{12217857433}\right)-\frac{21757100}{238501}$$

Egin \frac{64858}{238501} bider -\frac{286602871650}{12217857433}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{18588489049475700}{2913971215627933}-\frac{21757100}{238501}$$

Gehitu -\frac{21757100}{238501} eta -\frac{18588489049475700}{2913971215627933} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1192505000000}{12217857433}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1192505000000}{12217857433},y=-\frac{286602871650}{12217857433}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -43.5142 eta y+50 biderkatzeko.

$$-23.8501x-43.5142y-2175.71=-50y$$

Gehitu 50y bi aldeetan.

$$-23.8501x-43.5142y-2175.71+50y=0$$

6.4858y lortzeko, konbinatu -43.5142y eta 50y.

$$-23.8501x+6.4858y-2175.71=0$$

Gehitu 2175.71 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -23.8501 eta y+50 biderkatzeko.

$$-23.8501y-1192.505+43.5142x=50x$$

Kendu 50x bi aldeetatik.

$$-23.8501y-1192.505+43.5142x-50x=0$$

-6.4858x lortzeko, konbinatu 43.5142x eta -50x.

$$-23.8501y-1192.505-6.4858x=0$$

Gehitu 1192.505 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-23.8501y-6.4858x=1192.505$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71,-6.4858x-23.8501y=1192.505$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2175.71\\1192.505\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2175.71\\1192.505\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2175.71\\1192.505\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-23.8501&6.4858\\-6.4858&-23.8501\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2175.71\\1192.505\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23.8501}{-23.8501\left(-23.8501\right)-6.4858\left(-6.4858\right)}&-\frac{6.4858}{-23.8501\left(-23.8501\right)-6.4858\left(-6.4858\right)}\\-\frac{-6.4858}{-23.8501\left(-23.8501\right)-6.4858\left(-6.4858\right)}&-\frac{23.8501}{-23.8501\left(-23.8501\right)-6.4858\left(-6.4858\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2175.71\\1192.505\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{477002000}{12217857433}&-\frac{129716000}{12217857433}\\\frac{129716000}{12217857433}&-\frac{477002000}{12217857433}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2175.71\\1192.505\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{477002000}{12217857433}\times 2175.71-\frac{129716000}{12217857433}\times 1192.505\\\frac{129716000}{12217857433}\times 2175.71-\frac{477002000}{12217857433}\times 1192.505\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1192505000000}{12217857433}\\-\frac{286602871650}{12217857433}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1192505000000}{12217857433},y=-\frac{286602871650}{12217857433}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -43.5142 eta y+50 biderkatzeko.

$$-23.8501x-43.5142y-2175.71=-50y$$

Gehitu 50y bi aldeetan.

$$-23.8501x-43.5142y-2175.71+50y=0$$

6.4858y lortzeko, konbinatu -43.5142y eta 50y.

$$-23.8501x+6.4858y-2175.71=0$$

Gehitu 2175.71 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -23.8501 eta y+50 biderkatzeko.

$$-23.8501y-1192.505+43.5142x=50x$$

Kendu 50x bi aldeetatik.

$$-23.8501y-1192.505+43.5142x-50x=0$$

-6.4858x lortzeko, konbinatu 43.5142x eta -50x.

$$-23.8501y-1192.505-6.4858x=0$$

Gehitu 1192.505 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-23.8501y-6.4858x=1192.505$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-23.8501x+6.4858y=2175.71,-6.4858x-23.8501y=1192.505$$

-\frac{238501x}{10000} eta -\frac{32429x}{5000} berdintzeko, biderkatu -6.4858 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -23.8501 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6.4858\left(-23.8501\right)x-6.4858\times 6.4858y=-6.4858\times 2175.71,-23.8501\left(-6.4858\right)x-23.8501\left(-23.8501\right)y=-23.8501\times 1192.505$$

Sinplifikatu.

$$154.68697858x-42.06560164y=-14111.219918,154.68697858x+568.82727001y=-28441.3635005$$

Egin 154.68697858x+568.82727001y=-28441.3635005 ken 154.68697858x-42.06560164y=-14111.219918 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$154.68697858x-154.68697858x-42.06560164y-568.82727001y=-14111.219918+28441.3635005$$

Gehitu \frac{7734348929x}{50000000} eta -\frac{7734348929x}{50000000}. Sinplifikatu egiten dira \frac{7734348929x}{50000000} eta -\frac{7734348929x}{50000000}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-42.06560164y-568.82727001y=-14111.219918+28441.3635005$$

Gehitu -\frac{1051640041y}{25000000} eta -\frac{56882727001y}{100000000}.

$$-610.89287165y=-14111.219918+28441.3635005$$

Gehitu -14111.219918 eta 28441.3635005 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-610.89287165y=14330.1435825$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -610.89287165 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{286602871650}{12217857433}$$

Ordeztu -\frac{286602871650}{12217857433} y balioarekin -6.4858x-23.8501y=1192.505 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6.4858x-23.8501\left(-\frac{286602871650}{12217857433}\right)=1192.505$$

Egin -23.8501 bider -\frac{286602871650}{12217857433}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-6.4858x+\frac{1367101429827933}{2443571486600}=1192.505$$

Egin ken \frac{1367101429827933}{2443571486600} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6.4858x=\frac{7734348929000}{12217857433}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6.4858 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{1192505000000}{12217857433}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1192505000000}{12217857433},y=-\frac{286602871650}{12217857433}$$