Resolver {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x+7y=4$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-7y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider -7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Ordeztu \frac{7y}{2}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+3y=2).

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

Egin -4 bider \frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

Gehitu -14y eta 3y.

$$-11y+8=2$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=\frac{6}{11}$$

Ordeztu \frac{6}{11} y balioarekin x=\frac{7}{2}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Egin \frac{7}{2} bider \frac{6}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

Gehitu -2 eta \frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Sinplifikatu.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Egin 8x-6y=-4 ken 8x-28y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-28y+6y=-16+4$$

Gehitu -28y eta 6y.

$$-22y=-16+4$$

Gehitu -16 eta 4.

$$-22y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=\frac{6}{11}$$

Ordeztu \frac{6}{11} y balioarekin -4x+3y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

Egin 3 bider \frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Egin ken \frac{18}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$