Resolver {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: B, A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi B. Horretarako, isolatu B berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-15B-3A=-14$$

Gehitu 3A ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15B=3A-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

Egin -\frac{1}{15} bider 3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

Ordeztu -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} balioa B balioarekin beste ekuazioan (B-5A=7).

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

Gehitu -\frac{A}{5} eta -5A.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

Egin ken \frac{14}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{26}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Ordeztu -\frac{7}{6} A balioarekin B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, B ebatz dezakezu zuzenean.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

Egin -\frac{1}{5} bider -\frac{7}{6}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

Gehitu \frac{14}{15} eta \frac{7}{30} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$B=\frac{7}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera B eta A matrize-elementuak.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

-15B eta B berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -15 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

Sinplifikatu.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

Egin -15B+75A=-105 ken -15B-3A=-14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

Gehitu -15B eta 15B. Sinplifikatu egiten dira -15B eta 15B. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3A-75A=-14+105$$

Gehitu -3A eta -75A.

$$-78A=-14+105$$

Gehitu -14 eta 105.

$$-78A=91$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -78 balioarekin.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Ordeztu -\frac{7}{6} A balioarekin B-5A=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, B ebatz dezakezu zuzenean.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

Egin -5 bider -\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

Egin ken \frac{35}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$B=\frac{7}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$