Resolver {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-15A+3B=21$$

Egin ken 3B ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15A=-3B+21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

Egin -\frac{1}{15} bider -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{-7+B}{5} balioa A balioarekin beste ekuazioan (-3A-15B=-14).

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

Egin -3 bider \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Gehitu -\frac{3B}{5} eta -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

Egin ken \frac{21}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{78}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$B=\frac{7}{6}$$

Ordeztu \frac{7}{6} B balioarekin A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider \frac{7}{6}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Gehitu -\frac{7}{5} eta \frac{7}{30} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera A eta B matrize-elementuak.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A eta -3A berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -15 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Sinplifikatu.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

Egin 45A+225B=210 ken 45A-9B=-63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Gehitu 45A eta -45A. Sinplifikatu egiten dira 45A eta -45A. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9B-225B=-63-210$$

Gehitu -9B eta -225B.

$$-234B=-63-210$$

Gehitu -63 eta -210.

$$-234B=-273$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -234 balioarekin.

$$B=\frac{7}{6}$$

Ordeztu \frac{7}{6} B balioarekin -3A-15B=-14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

Egin -15 bider \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Gehitu \frac{35}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$