Resolver {l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-14y+3x=8$$

Egin ken 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-14y=-3x+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

Egin -\frac{1}{14} bider -3x+8.

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

Ordeztu \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} balioa y balioarekin beste ekuazioan (-9y+192x=7).

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

Egin -9 bider \frac{3x}{14}-\frac{4}{7}.

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

Gehitu -\frac{27x}{14} eta 192x.

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

Egin ken \frac{36}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2661}{14} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{26}{2661}$$

Ordeztu \frac{26}{2661} x balioarekin y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

Egin \frac{3}{14} bider \frac{26}{2661}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

Gehitu -\frac{4}{7} eta \frac{13}{6209} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{505}{887}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

-14y eta -9y berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -14 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

Sinplifikatu.

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

Egin 126y-2688x=-98 ken 126y-27x=-72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

Gehitu 126y eta -126y. Sinplifikatu egiten dira 126y eta -126y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-27x+2688x=-72+98$$

Gehitu -27x eta 2688x.

$$2661x=-72+98$$

Gehitu -72 eta 98.

$$2661x=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2661 balioarekin.

$$x=\frac{26}{2661}$$

Ordeztu \frac{26}{2661} x balioarekin -9y+192x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

Egin 192 bider \frac{26}{2661}.

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

Egin ken \frac{1664}{887} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-\frac{505}{887}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$