Resolver {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10y+9x=-9$$

Egin ken 9x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=-9x-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider -9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

Ordeztu \frac{9+9x}{10} balioa y balioarekin beste ekuazioan (10y+5x=-5).

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

Egin 10 bider \frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

Gehitu 9x eta 5x.

$$14x+9=-5$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$14x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

Egin \frac{9}{10} bider -1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

Gehitu \frac{9}{10} eta -\frac{9}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=0$$

Ebatzi da sistema.

$$y=0,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=0,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

-10y eta 10y berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

Egin -100y-50x=50 ken -100y+90x=-90 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

Gehitu -100y eta 100y. Sinplifikatu egiten dira -100y eta 100y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$90x+50x=-90-50$$

Gehitu 90x eta 50x.

$$140x=-90-50$$

Gehitu -90 eta -50.

$$140x=-140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 140 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin 10y+5x=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

Egin 5 bider -1.

$$10y-5=-5$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=0$$

Ebatzi da sistema.

$$y=0,x=-1$$