Resolver {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10x-7y=-5$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=7y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider 7y-5.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+5y=4).

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

Egin 7 bider -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

Gehitu -\frac{49y}{10} eta 5y.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{7}{10} bider 5.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{7}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

-10x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

Sinplifikatu.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

Egin -70x-50y=-40 ken -70x-49y=-35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

Gehitu -70x eta 70x. Sinplifikatu egiten dira -70x eta 70x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-49y+50y=-35+40$$

Gehitu -49y eta 50y.

$$y=-35+40$$

Gehitu -35 eta 40.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 7x+5y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+5\times 5=4$$

Egin 5 bider 5.

$$7x+25=4$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=5$$