Resolver {l}{-10x+6y=-14}{-x+4y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 6 y = - 14 } \\ { - x + 4 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10x+6y=-14$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=-6y-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-6y-14\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider -6y-14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+7}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+4y=-15).

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=-15$$

Egin -1 bider \frac{3y+7}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{7}{5}+4y=-15$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta 4y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{7}{5}=-15$$

Gehitu \frac{7}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{68}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{7}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{7}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider -4.

$$x=\frac{-12+7}{5}$$

Gehitu \frac{7}{5} eta -\frac{12}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-10\times 4-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-10\times 4-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-10\times 4-6\left(-1\right)}&-\frac{10}{-10\times 4-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{1}{34}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\left(-14\right)+\frac{3}{17}\left(-15\right)\\-\frac{1}{34}\left(-14\right)+\frac{5}{17}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

-10x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\left(-10\right)x-6y=-\left(-14\right),-10\left(-1\right)x-10\times 4y=-10\left(-15\right)$$

Sinplifikatu.

$$10x-6y=14,10x-40y=150$$

Egin 10x-40y=150 ken 10x-6y=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-6y+40y=14-150$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+40y=14-150$$

Gehitu -6y eta 40y.

$$34y=14-150$$

Gehitu 14 eta -150.

$$34y=-136$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 34 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -x+4y=-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+4\left(-4\right)=-15$$

Egin 4 bider -4.

$$-x-16=-15$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-4$$