Resolver {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10x+20y=460$$

Egin ken 20y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=-20y+460$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider -20y+460.

$$x=2y-46$$

Ordeztu -46+2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (30x+60y=1620).

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

Egin 30 bider -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Gehitu 60y eta 60y.

$$120y-1380=1620$$

Gehitu 1380 ekuazioaren bi aldeetan.

$$120y=3000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$y=25$$

Ordeztu 25 y balioarekin x=2y-46 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 25-46$$

Egin 2 bider 25.

$$x=50-46$$

Gehitu -46 eta 50.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=25$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=25$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x eta 30x berdintzeko, biderkatu 30 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Sinplifikatu.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Egin -300x-600y=-16200 ken -300x+600y=13800 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Gehitu -300x eta 300x. Sinplifikatu egiten dira -300x eta 300x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$600y+600y=13800+16200$$

Gehitu 600y eta 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Gehitu 13800 eta 16200.

$$1200y=30000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1200 balioarekin.

$$y=25$$

Ordeztu 25 y balioarekin 30x+60y=1620 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$30x+60\times 25=1620$$

Egin 60 bider 25.

$$30x+1500=1620$$

Egin ken 1500 ekuazioaren bi aldeetan.

$$30x=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=25$$