Resolver {l}{-10x+2y=-8}{10x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 2 y = - 8 } \\ { 10 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-10x+2y=-8$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=-2y-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-2y-8\right)$$

Egin -\frac{1}{10} bider -2y-8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}$$

Ordeztu \frac{4+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (10x-y=9).

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}\right)-y=9$$

Egin 10 bider \frac{4+y}{5}.

$$2y+8-y=9$$

Gehitu 2y eta -y.

$$y+8=9$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1+4}{5}$$

Gehitu \frac{4}{5} eta \frac{1}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-2\times 10}&-\frac{2}{-10\left(-1\right)-2\times 10}\\-\frac{10}{-10\left(-1\right)-2\times 10}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-2\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\times 9\\-8+9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

-10x eta 10x berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10\left(-10\right)x+10\times 2y=10\left(-8\right),-10\times 10x-10\left(-1\right)y=-10\times 9$$

Sinplifikatu.

$$-100x+20y=-80,-100x+10y=-90$$

Egin -100x+10y=-90 ken -100x+20y=-80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-100x+100x+20y-10y=-80+90$$

Gehitu -100x eta 100x. Sinplifikatu egiten dira -100x eta 100x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-10y=-80+90$$

Gehitu 20y eta -10y.

$$10y=-80+90$$

Gehitu -80 eta 90.

$$10y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 10x-y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$10x-1=9$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$