Resolver {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

Egin ken \frac{23y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.8 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

Egin -1.25 bider -\frac{23y}{10}+3.6.

$$x=2.875y-4.5$$

Ordeztu \frac{23y}{8}-4.5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (1.6x-1.2y=6.4).

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

Egin 1.6 bider \frac{23y}{8}-4.5.

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

Gehitu \frac{23y}{5} eta -\frac{6y}{5}.

$$3.4y-7.2=6.4$$

Gehitu 7.2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3.4y=13.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=2.875y-4.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2.875\times 4-4.5$$

Egin 2.875 bider 4.

$$x=\frac{23-9}{2}$$

Gehitu -4.5 eta 11.5 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

-\frac{4x}{5} eta \frac{8x}{5} berdintzeko, biderkatu 1.6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -0.8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

Sinplifikatu.

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

Egin -1.28x+0.96y=-5.12 ken -1.28x+3.68y=5.76 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Gehitu -\frac{32x}{25} eta \frac{32x}{25}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{32x}{25} eta \frac{32x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Gehitu \frac{92y}{25} eta -\frac{24y}{25}.

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

Gehitu 5.76 eta 5.12 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$2.72y=10.88$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.72 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 1.6x-1.2y=6.4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

Egin -1.2 bider 4.

$$1.6x-4.8=6.4$$

Gehitu 4.8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.6x=11.2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=4$$