Resolver {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Egin ken \frac{y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Egin -2 bider -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

Ordeztu \frac{y}{5}-700 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.4x+0.2y=0).

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Egin 0.4 bider \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Gehitu \frac{2y}{25} eta \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

Gehitu 280 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.28y=280$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.28 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1000$$

Ordeztu 1000 y balioarekin x=0.2y-700 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=0.2\times 1000-700$$

Egin 0.2 bider 1000.

$$x=200-700$$

Gehitu -700 eta 200.

$$x=-500$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-500,y=1000$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-500,y=1000$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

-\frac{x}{2} eta \frac{2x}{5} berdintzeko, biderkatu 0.4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -0.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Sinplifikatu.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Egin -0.2x-0.1y=0 ken -0.2x+0.04y=140 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Gehitu -\frac{x}{5} eta \frac{x}{5}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{x}{5} eta \frac{x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.04y+0.1y=140$$

Gehitu \frac{y}{25} eta \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.14 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1000$$

Ordeztu 1000 y balioarekin 0.4x+0.2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Egin 0.2 bider 1000.

$$0.4x+200=0$$

Egin ken 200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.4x=-200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-500$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-500,y=1000$$