Resolver {l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

Gehitu 610 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.1x-0.7y=610$$

Gehitu \frac{7y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.1x=0.7y+610$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

Egin -10 bider \frac{7y}{10}+610.

$$x=-7y-6100$$

Ordeztu -7y-6100 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-0.8x+0.5y+920=0).

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

Egin -0.8 bider -7y-6100.

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

Gehitu \frac{28y}{5} eta \frac{y}{2}.

$$6.1y+4880+920=0$$

Gehitu 4880 eta 920.

$$6.1y+5800=0$$

Egin ken 5800 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6.1y=-5800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6.1 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

Ordeztu -\frac{58000}{61} y balioarekin x=-7y-6100 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

Egin -7 bider -\frac{58000}{61}.

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

Gehitu -6100 eta \frac{406000}{61}.

$$x=\frac{33900}{61}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

-\frac{x}{10} eta -\frac{4x}{5} berdintzeko, biderkatu -0.8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -0.1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

Sinplifikatu.

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

Egin 0.08x-0.05y-92=0 ken 0.08x+0.56y+488=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

Gehitu \frac{2x}{25} eta -\frac{2x}{25}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2x}{25} eta -\frac{2x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

Gehitu \frac{14y}{25} eta \frac{y}{20}.

$$0.61y+488+92=0$$

Gehitu 488 eta 92.

$$0.61y+580=0$$

Egin ken 580 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.61y=-580$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.61 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

Ordeztu -\frac{58000}{61} y balioarekin -0.8x+0.5y+920=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

Egin 0.5 bider -\frac{58000}{61}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

Gehitu -\frac{29000}{61} eta 920.

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

Egin ken \frac{27120}{61} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.8 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{33900}{61}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$