Resolver {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea A+B eta 3 biderkatzeko.

$$3A+3B-B=6$$

2B lortzeko, konbinatu 3B eta -B.

$$3A+2B=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 9 lortzeko, egin 3 ber 2.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Erabili banaketa-propietatea 2A+B eta 9 biderkatzeko.

$$18A+9B-B=42$$

8B lortzeko, konbinatu 9B eta -B.

$$18A+8B=42$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3A+2B=6$$

Egin ken 2B ekuazioaren bi aldeetan.

$$3A=-2B+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Ordeztu -\frac{2B}{3}+2 balioa A balioarekin beste ekuazioan (18A+8B=42).

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Egin 18 bider -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

Gehitu -12B eta 8B.

$$-4B+36=42$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4B=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Ordeztu -\frac{3}{2} B balioarekin A=-\frac{2}{3}B+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Egin -\frac{2}{3} bider -\frac{3}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$A=1+2$$

Gehitu 2 eta 1.

$$A=3$$

Ebatzi da sistema.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea A+B eta 3 biderkatzeko.

$$3A+3B-B=6$$

2B lortzeko, konbinatu 3B eta -B.

$$3A+2B=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 9 lortzeko, egin 3 ber 2.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Erabili banaketa-propietatea 2A+B eta 9 biderkatzeko.

$$18A+9B-B=42$$

8B lortzeko, konbinatu 9B eta -B.

$$18A+8B=42$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera A eta B matrize-elementuak.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea A+B eta 3 biderkatzeko.

$$3A+3B-B=6$$

2B lortzeko, konbinatu 3B eta -B.

$$3A+2B=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 9 lortzeko, egin 3 ber 2.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Erabili banaketa-propietatea 2A+B eta 9 biderkatzeko.

$$18A+9B-B=42$$

8B lortzeko, konbinatu 9B eta -B.

$$18A+8B=42$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

3A eta 18A berdintzeko, biderkatu 18 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Sinplifikatu.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Egin 54A+24B=126 ken 54A+36B=108 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Gehitu 54A eta -54A. Sinplifikatu egiten dira 54A eta -54A. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36B-24B=108-126$$

Gehitu 36B eta -24B.

$$12B=108-126$$

Gehitu 108 eta -126.

$$12B=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Ordeztu -\frac{3}{2} B balioarekin 18A+8B=42 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Egin 8 bider -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$18A=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$A=3$$

Ebatzi da sistema.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$