Resolver {l}{text{peoftheequation:}2+y=-x}{text{I}}{text{peoftheequation:}-10+y=x}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { pe of the equation: } 2 + y = - x } \\ { \text { I } } \\ { \text { pe of the equation: } - 10 + y = x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-6$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$2+y+x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y+x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$-10+y-x=0$$

Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$y-x=10$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+x=-2,y-x=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+x=-2$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-x-2$$

Ordeztu -x-2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=10).

$$-x-2-x=10$$

Gehitu -x eta -x.

$$-2x-2=10$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-6$$

Ordeztu -6 x balioarekin y=-x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\left(-6\right)-2$$

Egin -1 bider -6.

$$y=6-2$$

Gehitu -2 eta 6.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$2+y+x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y+x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$-10+y-x=0$$

Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$y-x=10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+x=-2,y-x=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\times 10\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=4,x=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$2+y+x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y+x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$-10+y-x=0$$

Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$y-x=10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+x=-2,y-x=10$$

Egin y-x=10 ken y+x=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+x+x=-2-10$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+x=-2-10$$

Gehitu x eta x.

$$2x=-2-10$$

Gehitu -2 eta -10.

$$2x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-6$$

Ordeztu -6 x balioarekin y-x=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\left(-6\right)=10$$

Egin -1 bider -6.

$$y+6=10$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=-6$$