Resolver {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-2y=4$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=2y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Ordeztu \frac{4+2y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=-2).

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

Gehitu \frac{2y}{5} eta -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

Egin ken \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{14}{3}$$

Ordeztu \frac{14}{3} y balioarekin x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

Egin \frac{2}{5} bider \frac{14}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

Gehitu \frac{4}{5} eta \frac{28}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

Egin 5x-5y=-10 ken 5x-2y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+5y=4+10$$

Gehitu -2y eta 5y.

$$3y=4+10$$

Gehitu 4 eta 10.

$$3y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{14}{3}$$

Ordeztu \frac{14}{3} y balioarekin x-y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

Gehitu \frac{14}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$