Resolver {l}{text{Recta1:}y=2x-3}{text{Recta}2:-2x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { Recta 1: } y = 2 x - 3 } \\ { \text { Recta } 2 : - 2 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. -1 lortzeko, zatitu 2 -2 balioarekin.

$$-x+y=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-3,y-x=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-3$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-3$$

Ordeztu 2x-3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=-3).

$$2x-3-x=-3$$

Gehitu 2x eta -x.

$$x-3=-3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=2x-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. -1 lortzeko, zatitu 2 -2 balioarekin.

$$-x+y=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-3,y-x=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)+2\left(-3\right)\\-\left(-3\right)-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. -1 lortzeko, zatitu 2 -2 balioarekin.

$$-x+y=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-3,y-x=-3$$

Egin y-x=-3 ken y-2x=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-2x+x=-3+3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x+x=-3+3$$

Gehitu -2x eta x.

$$-x=-3+3$$

Gehitu -3 eta 3.

$$-x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y-x=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=0$$