Resolver {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y+2z=4\times 3$$

12 lortzeko, biderkatu 4 eta 3.

$$y+2z=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (6,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5y+2\times 7z=48$$

14 lortzeko, biderkatu 2 eta 7.

$$5y+14z=48$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+2z=12$$

Egin ken 2z ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2z+12$$

Ordeztu -2z+12 balioa y balioarekin beste ekuazioan (5y+14z=48).

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Egin 5 bider -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Gehitu -10z eta 14z.

$$4z+60=48$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4z=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$z=-3$$

Ordeztu -3 z balioarekin y=-2z+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Egin -2 bider -3.

$$y=6+12$$

Gehitu 12 eta 6.

$$y=18$$

Ebatzi da sistema.

$$y=18,z=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y+2z=4\times 3$$

12 lortzeko, biderkatu 4 eta 3.

$$y+2z=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (6,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5y+2\times 7z=48$$

14 lortzeko, biderkatu 2 eta 7.

$$5y+14z=48$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta z matrize-elementuak.

$$y=18,z=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y+2z=4\times 3$$

12 lortzeko, biderkatu 4 eta 3.

$$y+2z=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (6,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5y+2\times 7z=48$$

14 lortzeko, biderkatu 2 eta 7.

$$5y+14z=48$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y eta 5y berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Sinplifikatu.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Egin 5y+14z=48 ken 5y+10z=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10z-14z=60-48$$

Gehitu 10z eta -14z.

$$-4z=60-48$$

Gehitu 60 eta -48.

$$-4z=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$z=-3$$

Ordeztu -3 z balioarekin 5y+14z=48 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Egin 14 bider -3.

$$5y-42=48$$

Gehitu 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=18$$

Ebatzi da sistema.

$$y=18,z=-3$$