Resolver {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta \frac{4}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2\left(3x-4\right) balioarekin (3x-4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+1 biderkatzeko.

$$2y+2=3x-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y+2-3x=-4$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 lortzeko, -4 balioari kendu 2.

$$2y-3x=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta -\frac{11}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5x+y-3x=11$$

2x lortzeko, konbinatu 5x eta -3x.

$$2x+y=11$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-3x=-6$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=3x-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Ordeztu \frac{3x}{2}-3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+2x=11).

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Gehitu \frac{3x}{2} eta 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y=\frac{3}{2}x-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Egin \frac{3}{2} bider 4.

$$y=6-3$$

Gehitu -3 eta 6.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta \frac{4}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2\left(3x-4\right) balioarekin (3x-4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+1 biderkatzeko.

$$2y+2=3x-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y+2-3x=-4$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 lortzeko, -4 balioari kendu 2.

$$2y-3x=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta -\frac{11}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5x+y-3x=11$$

2x lortzeko, konbinatu 5x eta -3x.

$$2x+y=11$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=3,x=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta \frac{4}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2\left(3x-4\right) balioarekin (3x-4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+1 biderkatzeko.

$$2y+2=3x-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y+2-3x=-4$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 lortzeko, -4 balioari kendu 2.

$$2y-3x=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta -\frac{11}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5x+y-3x=11$$

2x lortzeko, konbinatu 5x eta -3x.

$$2x+y=11$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y eta y berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Sinplifikatu.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Egin 2y+4x=22 ken 2y-3x=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3x-4x=-6-22$$

Gehitu -3x eta -4x.

$$-7x=-6-22$$

Gehitu -6 eta -22.

$$-7x=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y+2x=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+2\times 4=11$$

Egin 2 bider 4.

$$y+8=11$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=4$$