Resolver {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 92.

$$x+92y=5336$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 79.

$$79x-y=4503$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+92y=5336$$

Egin ken 92y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-92y+5336$$

Ordeztu -92y+5336 balioa x balioarekin beste ekuazioan (79x-y=4503).

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

Egin 79 bider -92y+5336.

$$-7268y+421544-y=4503$$

Gehitu -7268y eta -y.

$$-7269y+421544=4503$$

Egin ken 421544 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7269y=-417041$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7269 balioarekin.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Ordeztu \frac{417041}{7269} y balioarekin x=-92y+5336 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

Egin -92 bider \frac{417041}{7269}.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

Gehitu 5336 eta -\frac{38367772}{7269}.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 92.

$$x+92y=5336$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 79.

$$79x-y=4503$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 92.

$$x+92y=5336$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 79.

$$79x-y=4503$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

x eta 79x berdintzeko, biderkatu 79 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

Sinplifikatu.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

Egin 79x-y=4503 ken 79x+7268y=421544 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

Gehitu 79x eta -79x. Sinplifikatu egiten dira 79x eta -79x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7268y+y=421544-4503$$

Gehitu 7268y eta y.

$$7269y=421544-4503$$

Gehitu 421544 eta -4503.

$$7269y=417041$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7269 balioarekin.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Ordeztu \frac{417041}{7269} y balioarekin 79x-y=4503 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

Gehitu \frac{417041}{7269} ekuazioaren bi aldeetan.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 79 balioarekin.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$