Resolver {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 47 balioarekin.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

Egin 47 bider -y+86.

$$x=-47y+4042$$

Ordeztu -47y+4042 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+\frac{1}{25}y=49).

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

Gehitu -47y eta \frac{y}{25}.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

Egin ken 4042 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{1174}{25} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Ordeztu \frac{99825}{1174} y balioarekin x=-47y+4042 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

Egin -47 bider \frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

Gehitu 4042 eta -\frac{4691775}{1174}.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

\frac{x}{47} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{47} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

Egin \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} ken \frac{1}{47}x+y=86 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Gehitu \frac{x}{47} eta -\frac{x}{47}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{47} eta -\frac{x}{47}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Gehitu y eta -\frac{y}{1175}.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Gehitu 86 eta -\frac{49}{47}.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{1174}{1175} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Ordeztu \frac{99825}{1174} y balioarekin x+\frac{1}{25}y=49 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

Egin \frac{1}{25} bider \frac{99825}{1174}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

Egin ken \frac{3993}{1174} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$