Resolver {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x+2y=28$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x-3y=24$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=28$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+28$$

Ordeztu -2y+28 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=24).

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Egin 4 bider -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Gehitu -8y eta -3y.

$$-11y+112=24$$

Egin ken 112 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11y=-88$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-2y+28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 8+28$$

Egin -2 bider 8.

$$x=-16+28$$

Gehitu 28 eta -16.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x+2y=28$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x-3y=24$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x+2y=28$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x-3y=24$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Sinplifikatu.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Egin 4x-3y=24 ken 4x+8y=112 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y+3y=112-24$$

Gehitu 8y eta 3y.

$$11y=112-24$$

Gehitu 112 eta -24.

$$11y=88$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin 4x-3y=24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-3\times 8=24$$

Egin -3 bider 8.

$$4x-24=24$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=8$$