Resolver {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 36.

$$x-36y=756$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 20.

$$20x-y=320$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-36y=756$$

Gehitu 36y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=36y+756$$

Ordeztu 756+36y balioa x balioarekin beste ekuazioan (20x-y=320).

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

Egin 20 bider 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

Gehitu 720y eta -y.

$$719y+15120=320$$

Egin ken 15120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$719y=-14800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 719 balioarekin.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Ordeztu -\frac{14800}{719} y balioarekin x=36y+756 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

Egin 36 bider -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

Gehitu 756 eta -\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 36.

$$x-36y=756$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 20.

$$20x-y=320$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 36.

$$x-36y=756$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 20.

$$20x-y=320$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

x eta 20x berdintzeko, biderkatu 20 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

Sinplifikatu.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

Egin 20x-y=320 ken 20x-720y=15120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-720y+y=15120-320$$

Gehitu -720y eta y.

$$-719y=15120-320$$

Gehitu 15120 eta -320.

$$-719y=14800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -719 balioarekin.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Ordeztu -\frac{14800}{719} y balioarekin 20x-y=320 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

Egin ken \frac{14800}{719} ekuazioaren bi aldeetan.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$