Resolver {l}{x/33-y=26}{x-y/88=66}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 33 } - y = 26 } \\ { x - \frac { y } { 88 } = 66 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{190806}{2903} = 65\frac{2111}{2903} \approx 65.727178781$$

$$y = -\frac{69696}{2903} = -24\frac{24}{2903} \approx -24.00826731$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 33.

$$x-33y=858$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 88.

$$88x-y=5808$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-33y=858$$

Gehitu 33y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=33y+858$$

Ordeztu 858+33y balioa x balioarekin beste ekuazioan (88x-y=5808).

$$88\left(33y+858\right)-y=5808$$

Egin 88 bider 858+33y.

$$2904y+75504-y=5808$$

Gehitu 2904y eta -y.

$$2903y+75504=5808$$

Egin ken 75504 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2903y=-69696$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2903 balioarekin.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

Ordeztu -\frac{69696}{2903} y balioarekin x=33y+858 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=33\left(-\frac{69696}{2903}\right)+858$$

Egin 33 bider -\frac{69696}{2903}.

$$x=-\frac{2299968}{2903}+858$$

Gehitu 858 eta -\frac{2299968}{2903}.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 33.

$$x-33y=858$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 88.

$$88x-y=5808$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}&-\frac{-33}{-1-\left(-33\times 88\right)}\\-\frac{88}{-1-\left(-33\times 88\right)}&\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}&\frac{33}{2903}\\-\frac{88}{2903}&\frac{1}{2903}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}\times 858+\frac{33}{2903}\times 5808\\-\frac{88}{2903}\times 858+\frac{1}{2903}\times 5808\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190806}{2903}\\-\frac{69696}{2903}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 33.

$$x-33y=858$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 88.

$$88x-y=5808$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

x eta 88x berdintzeko, biderkatu 88 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$88x+88\left(-33\right)y=88\times 858,88x-y=5808$$

Sinplifikatu.

$$88x-2904y=75504,88x-y=5808$$

Egin 88x-y=5808 ken 88x-2904y=75504 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$88x-88x-2904y+y=75504-5808$$

Gehitu 88x eta -88x. Sinplifikatu egiten dira 88x eta -88x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2904y+y=75504-5808$$

Gehitu -2904y eta y.

$$-2903y=75504-5808$$

Gehitu 75504 eta -5808.

$$-2903y=69696$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2903 balioarekin.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

Ordeztu -\frac{69696}{2903} y balioarekin 88x-y=5808 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$88x-\left(-\frac{69696}{2903}\right)=5808$$

Egin ken \frac{69696}{2903} ekuazioaren bi aldeetan.

$$88x=\frac{16790928}{2903}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 88 balioarekin.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$