Resolver {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (3,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x+3y=105$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin (6,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 lortzeko, biderkatu -6 eta 2.

$$5x-12y=-120$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=105$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Ordeztu -\frac{3y}{5}+21 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-12y=-120).

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Egin 5 bider -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Gehitu -3y eta -12y.

$$-15y+105=-120$$

Egin ken 105 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=-225$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=15$$

Ordeztu 15 y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Egin -\frac{3}{5} bider 15.

$$x=-9+21$$

Gehitu 21 eta -9.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=15$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (3,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x+3y=105$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin (6,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 lortzeko, biderkatu -6 eta 2.

$$5x-12y=-120$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=15$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (3,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x+3y=105$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin (6,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 lortzeko, biderkatu -6 eta 2.

$$5x-12y=-120$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Egin 5x-12y=-120 ken 5x+3y=105 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+12y=105+120$$

Gehitu 3y eta 12y.

$$15y=105+120$$

Gehitu 105 eta 120.

$$15y=225$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=15$$

Ordeztu 15 y balioarekin 5x-12y=-120 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-12\times 15=-120$$

Egin -12 bider 15.

$$5x-180=-120$$

Gehitu 180 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=15$$