Resolver {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=30$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

Egin ken \frac{y}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

Egin 2 bider -\frac{y}{3}+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

Ordeztu -\frac{2y}{3}+20 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=30).

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta y.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}y=10$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

Egin -\frac{2}{3} bider 30.

$$x=-20+20$$

Gehitu 20 eta -20.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=30$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=30$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

\frac{x}{2} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

Egin \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 ken \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Gehitu \frac{y}{3} eta -\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

Gehitu 10 eta -15.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x+y=30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+30=30$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=30$$