Resolver {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 36 balioarekin (9,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Ebatzi 3x+4y=1 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$3x+4y=1$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9y^{2}+4x^{2}=36).

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

Egin -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ber bi.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Egin 4 bider \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Gehitu 9y^{2} eta \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} balioa a balioarekin, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 balioa b balioarekin, eta -\frac{320}{9} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Egin 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Egin -4 bider 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Egin -\frac{580}{9} bider -\frac{320}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Gehitu \frac{1024}{81} eta \frac{185600}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Atera 2304 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 zenbakiaren aurkakoa \frac{32}{9} da.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Egin 2 bider 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Orain, ebatzi y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{32}{9} eta 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Zatitu \frac{464}{9} balioa \frac{290}{9} frakzioarekin, \frac{464}{9} balioa \frac{290}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$y=\frac{8}{5}$$

Orain, ebatzi y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} ekuazioa ± minus denean. Egin 48 ken \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Zatitu -\frac{400}{9} balioa \frac{290}{9} frakzioarekin, -\frac{400}{9} balioa \frac{290}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$y=-\frac{40}{29}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{8}{5} eta -\frac{40}{29}. Ordeztu \frac{8}{5} balioa y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider \frac{8}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Gehitu -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} eta \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Orain, ordeztu -\frac{40}{29} balioa x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider -\frac{40}{29}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Gehitu -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) eta \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$