Resolver {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin (2,5,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Erabili banaketa-propietatea 10 eta x+2 biderkatzeko.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-5 biderkatzeko.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 lortzeko, 20 balioari kendu 20.

$$10x+4y=5x+20$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$10x+4y-5x=20$$

5x lortzeko, konbinatu 10x eta -5x.

$$5x+4y=20$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 lortzeko, gehitu -1 eta 9.

$$3x+3y=x+8$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$3x+3y-x=8$$

2x lortzeko, konbinatu 3x eta -x.

$$2x+3y=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+4y=20$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-4y+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Ordeztu -\frac{4y}{5}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=8).

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Egin 2 bider -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Gehitu -\frac{8y}{5} eta 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=-\frac{4}{5}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin (2,5,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Erabili banaketa-propietatea 10 eta x+2 biderkatzeko.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-5 biderkatzeko.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 lortzeko, 20 balioari kendu 20.

$$10x+4y=5x+20$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$10x+4y-5x=20$$

5x lortzeko, konbinatu 10x eta -5x.

$$5x+4y=20$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 lortzeko, gehitu -1 eta 9.

$$3x+3y=x+8$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$3x+3y-x=8$$

2x lortzeko, konbinatu 3x eta -x.

$$2x+3y=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin (2,5,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Erabili banaketa-propietatea 10 eta x+2 biderkatzeko.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-5 biderkatzeko.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 lortzeko, 20 balioari kendu 20.

$$10x+4y=5x+20$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$10x+4y-5x=20$$

5x lortzeko, konbinatu 10x eta -5x.

$$5x+4y=20$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 lortzeko, gehitu -1 eta 9.

$$3x+3y=x+8$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$3x+3y-x=8$$

2x lortzeko, konbinatu 3x eta -x.

$$2x+3y=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Sinplifikatu.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Egin 10x+15y=40 ken 10x+8y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-15y=40-40$$

Gehitu 8y eta -15y.

$$-7y=40-40$$

Gehitu 40 eta -40.

$$-7y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 2x+3y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=0$$