Resolver {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1y-1 biderkatzeko.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y lortzeko, konbinatu 3y eta 2y.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 lortzeko, -3 balioari kendu 2.

$$3x+5y-5=54$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$3x+5y=54+5$$

59 lortzeko, gehitu 54 eta 5.

$$3x+5y=59$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-1 biderkatzeko.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+1 biderkatzeko.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 lortzeko, gehitu -2 eta 3.

$$2x+1+3y=48$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$2x+3y=48-1$$

47 lortzeko, 48 balioari kendu 1.

$$2x+3y=47$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=59$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+59$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+59}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=47).

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Egin 2 bider \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Egin ken \frac{118}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-23$$

Ordeztu -23 y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Gehitu \frac{59}{3} eta \frac{115}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=58$$

Ebatzi da sistema.

$$x=58,y=-23$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1y-1 biderkatzeko.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y lortzeko, konbinatu 3y eta 2y.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 lortzeko, -3 balioari kendu 2.

$$3x+5y-5=54$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$3x+5y=54+5$$

59 lortzeko, gehitu 54 eta 5.

$$3x+5y=59$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-1 biderkatzeko.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+1 biderkatzeko.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 lortzeko, gehitu -2 eta 3.

$$2x+1+3y=48$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$2x+3y=48-1$$

47 lortzeko, 48 balioari kendu 1.

$$2x+3y=47$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=58,y=-23$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1y-1 biderkatzeko.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y lortzeko, konbinatu 3y eta 2y.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 lortzeko, -3 balioari kendu 2.

$$3x+5y-5=54$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$3x+5y=54+5$$

59 lortzeko, gehitu 54 eta 5.

$$3x+5y=59$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-1 biderkatzeko.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+1 biderkatzeko.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 lortzeko, gehitu -2 eta 3.

$$2x+1+3y=48$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$2x+3y=48-1$$

47 lortzeko, 48 balioari kendu 1.

$$2x+3y=47$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Sinplifikatu.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Egin 6x+9y=141 ken 6x+10y=118 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-9y=118-141$$

Gehitu 10y eta -9y.

$$y=118-141$$

Gehitu 118 eta -141.

$$y=-23$$

Ordeztu -23 y balioarekin 2x+3y=47 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Egin 3 bider -23.

$$2x-69=47$$

Gehitu 69 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=116$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=58$$

Ebatzi da sistema.

$$x=58,y=-23$$