Resolver {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -2 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y+2\right) balioarekin (y+2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+2 biderkatzeko.

$$3x+3=2y+4$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+3-2y=4$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x-2y=4-3$$

1 lortzeko, 4 balioari kendu 3.

$$3x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y-1\right) balioarekin (y-1,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-2 biderkatzeko.

$$3x-6=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-6-y=-1$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$3x-y=-1+6$$

5 lortzeko, gehitu -1 eta 6.

$$3x-y=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=1$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{2y+1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=5).

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Egin 3 bider \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

Gehitu 2y eta -y.

$$y+1=5$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{8}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -2 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y+2\right) balioarekin (y+2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+2 biderkatzeko.

$$3x+3=2y+4$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+3-2y=4$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x-2y=4-3$$

1 lortzeko, 4 balioari kendu 3.

$$3x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y-1\right) balioarekin (y-1,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-2 biderkatzeko.

$$3x-6=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-6-y=-1$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$3x-y=-1+6$$

5 lortzeko, gehitu -1 eta 6.

$$3x-y=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -2 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y+2\right) balioarekin (y+2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+2 biderkatzeko.

$$3x+3=2y+4$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+3-2y=4$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x-2y=4-3$$

1 lortzeko, 4 balioari kendu 3.

$$3x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y-1\right) balioarekin (y-1,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-2 biderkatzeko.

$$3x-6=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-6-y=-1$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$3x-y=-1+6$$

5 lortzeko, gehitu -1 eta 6.

$$3x-y=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Egin 3x-y=5 ken 3x-2y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+y=1-5$$

Gehitu -2y eta y.

$$-y=1-5$$

Gehitu 1 eta -5.

$$-y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 3x-y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-4=5$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=4$$