Resolver {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. L aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: L.

$$k=100L$$

Ordeztu 100L balioa k balioarekin beste ekuazioan (5k+50L=110).

$$5\times 100L+50L=110$$

Egin 5 bider 100L.

$$500L+50L=110$$

Gehitu 500L eta 50L.

$$550L=110$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 550 balioarekin.

$$L=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} L balioarekin k=100L ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Egin 100 bider \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Ebatzi da sistema.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. L aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: L.

$$k=100L$$

Kendu 100L bi aldeetatik.

$$k-100L=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera k eta L matrize-elementuak.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. L aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: L.

$$k=100L$$

Kendu 100L bi aldeetatik.

$$k-100L=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

k eta 5k berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Sinplifikatu.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Egin 5k+50L=110 ken 5k-500L=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Gehitu 5k eta -5k. Sinplifikatu egiten dira 5k eta -5k. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-500L-50L=-110$$

Gehitu -500L eta -50L.

$$-550L=-110$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -550 balioarekin.

$$L=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} L balioarekin 5k+50L=110 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Egin 50 bider \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5k=100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$k=20$$

Ebatzi da sistema.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$