Resolver {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 9x+4y biderkatzeko.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta 5x-11 biderkatzeko.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x lortzeko, konbinatu 18x eta -15x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Gehitu 6y bi aldeetan.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y lortzeko, konbinatu 8y eta 6y.

$$3x+14y+33=78$$

Kendu 33 bi aldeetatik.

$$3x+14y=78-33$$

45 lortzeko, 78 balioari kendu 33.

$$3x+14y=45$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+14y=45$$

Egin ken 14y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-14y+45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

Ordeztu -\frac{14y}{3}+15 balioa x balioarekin beste ekuazioan (13x-7y=-8).

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

Egin 13 bider -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

Gehitu -\frac{182y}{3} eta -7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

Egin ken 195 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{203}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{14}{3}y+15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

Egin -\frac{14}{3} bider 3.

$$x=-14+15$$

Gehitu 15 eta -14.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 9x+4y biderkatzeko.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta 5x-11 biderkatzeko.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x lortzeko, konbinatu 18x eta -15x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Gehitu 6y bi aldeetan.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y lortzeko, konbinatu 8y eta 6y.

$$3x+14y+33=78$$

Kendu 33 bi aldeetatik.

$$3x+14y=78-33$$

45 lortzeko, 78 balioari kendu 33.

$$3x+14y=45$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 9x+4y biderkatzeko.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta 5x-11 biderkatzeko.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x lortzeko, konbinatu 18x eta -15x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Gehitu 6y bi aldeetan.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y lortzeko, konbinatu 8y eta 6y.

$$3x+14y+33=78$$

Kendu 33 bi aldeetatik.

$$3x+14y=78-33$$

45 lortzeko, 78 balioari kendu 33.

$$3x+14y=45$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x eta 13x berdintzeko, biderkatu 13 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

Sinplifikatu.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

Egin 39x-21y=-24 ken 39x+182y=585 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

Gehitu 39x eta -39x. Sinplifikatu egiten dira 39x eta -39x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$182y+21y=585+24$$

Gehitu 182y eta 21y.

$$203y=585+24$$

Gehitu 585 eta 24.

$$203y=609$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 203 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 13x-7y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$13x-7\times 3=-8$$

Egin -7 bider 3.

$$13x-21=-8$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$13x=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$