Resolver {l}{2/3x=3/4y}{x+y=182}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { x + y = 182 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{1638}{17} = 96\frac{6}{17} \approx 96.352941176$$

$$y = \frac{1456}{17} = 85\frac{11}{17} \approx 85.647058824$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}y bi aldeetatik.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,x+y=182$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Gehitu \frac{3y}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{3}{4}y$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{3y}{4}.

$$x=\frac{9}{8}y$$

Ordeztu \frac{9y}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=182).

$$\frac{9}{8}y+y=182$$

Gehitu \frac{9y}{8} eta y.

$$\frac{17}{8}y=182$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1456}{17}$$

Ordeztu \frac{1456}{17} y balioarekin x=\frac{9}{8}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{9}{8}\times \frac{1456}{17}$$

Egin \frac{9}{8} bider \frac{1456}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1638}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1638}{17},y=\frac{1456}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}y bi aldeetatik.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,x+y=182$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{17}&\frac{9}{17}\\-\frac{12}{17}&\frac{8}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{17}\times 182\\\frac{8}{17}\times 182\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1638}{17}\\\frac{1456}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1638}{17},y=\frac{1456}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}y bi aldeetatik.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,x+y=182$$

\frac{2x}{3} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{2}{3} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}\times 182$$

Sinplifikatu.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{364}{3}$$

Egin \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{364}{3} ken \frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-\frac{364}{3}$$

Gehitu \frac{2x}{3} eta -\frac{2x}{3}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2x}{3} eta -\frac{2x}{3}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-\frac{364}{3}$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-\frac{364}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{12} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1456}{17}$$

Ordeztu \frac{1456}{17} y balioarekin x+y=182 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{1456}{17}=182$$

Egin ken \frac{1456}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1638}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1638}{17},y=\frac{1456}{17}$$