Resolver {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, B

$$A=300$$

$$B=200$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

Egin ken B ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

Egin \frac{3}{2} bider -B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

Ordeztu -\frac{3B}{2}+600 balioa A balioarekin beste ekuazioan (A+\frac{4}{5}B=460).

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

Gehitu -\frac{3B}{2} eta \frac{4B}{5}.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

Egin ken 600 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$B=200$$

Ordeztu 200 B balioarekin A=-\frac{3}{2}B+600 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

Egin -\frac{3}{2} bider 200.

$$A=-300+600$$

Gehitu 600 eta -300.

$$A=300$$

Ebatzi da sistema.

$$A=300,B=200$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

Atera A eta B matrize-elementuak.

$$A=300,B=200$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{2A}{3} eta A berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{2}{3} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

Sinplifikatu.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

Egin \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} ken \frac{2}{3}A+B=400 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Gehitu \frac{2A}{3} eta -\frac{2A}{3}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2A}{3} eta -\frac{2A}{3}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Gehitu B eta -\frac{8B}{15}.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Gehitu 400 eta -\frac{920}{3}.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{15} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$B=200$$

Ordeztu 200 B balioarekin A+\frac{4}{5}B=460 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

Egin \frac{4}{5} bider 200.

$$A+160=460$$

Egin ken 160 ekuazioaren bi aldeetan.

$$A=300$$

Ebatzi da sistema.

$$A=300,B=200$$