Resolver {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 100.

$$108x+110y=100800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Murriztu \frac{110}{100} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Murriztu \frac{108}{100} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$108x+110y=100800$$

Egin ken 110y ekuazioaren bi aldeetan.

$$108x=-110y+100800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 108 balioarekin.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Egin \frac{1}{108} bider -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Ordeztu -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028).

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Egin \frac{11}{10} bider -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Gehitu -\frac{121y}{108} eta \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Egin ken \frac{3080}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{109}{2700} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Ordeztu -\frac{3600}{109} y balioarekin x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Egin -\frac{55}{54} bider -\frac{3600}{109}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Gehitu \frac{2800}{3} eta \frac{11000}{327} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 100.

$$108x+110y=100800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Murriztu \frac{110}{100} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Murriztu \frac{108}{100} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 100.

$$108x+110y=100800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Murriztu \frac{110}{100} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Murriztu \frac{108}{100} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x eta \frac{11x}{10} berdintzeko, biderkatu \frac{11}{10} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 108 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Sinplifikatu.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Egin \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 ken \frac{594}{5}x+121y=110880 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Gehitu \frac{594x}{5} eta -\frac{594x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{594x}{5} eta -\frac{594x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Gehitu 121y eta -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Gehitu 110880 eta -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{109}{25} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Ordeztu -\frac{3600}{109} y balioarekin \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Egin \frac{27}{25} bider -\frac{3600}{109}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Gehitu \frac{3888}{109} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$