Resolver {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Egin 5 bider x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

Ordeztu 5x+\frac{5}{2} balioa y balioarekin beste ekuazioan (-\frac{1}{2}y+3x=10).

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

Egin -\frac{1}{2} bider 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

Gehitu -\frac{5x}{2} eta 3x.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{45}{2}$$

Ordeztu \frac{45}{2} x balioarekin y=5x+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

Egin 5 bider \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{225}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=115$$

Ebatzi da sistema.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} eta -\frac{y}{2} berdintzeko, biderkatu -\frac{1}{2} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{5} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

Egin -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 ken -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Gehitu -\frac{y}{10} eta \frac{y}{10}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{y}{10} eta \frac{y}{10}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -\frac{3x}{5}.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta -2.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=\frac{45}{2}$$

Ordeztu \frac{45}{2} x balioarekin -\frac{1}{2}y+3x=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

Egin 3 bider \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

Egin ken \frac{135}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=115$$

Ebatzi da sistema.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$