Resolver {l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-68$$

$$y=-40$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

Gehitu \frac{4y}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

Egin 2 bider \frac{4y}{5}-2.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

Ordeztu \frac{8y}{5}-4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2).

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

Egin \frac{1}{6} bider \frac{8y}{5}-4.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

Gehitu \frac{4y}{15} eta -\frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=-40$$

Ordeztu -40 y balioarekin x=\frac{8}{5}y-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

Egin \frac{8}{5} bider -40.

$$x=-64-4$$

Gehitu -4 eta -64.

$$x=-68$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-68,y=-40$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-68,y=-40$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{x}{2} eta \frac{x}{6} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{6} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

Egin \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 ken \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Gehitu \frac{x}{12} eta -\frac{x}{12}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{12} eta -\frac{x}{12}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Gehitu -\frac{2y}{15} eta \frac{y}{6}.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta -1.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$y=-40$$

Ordeztu -40 y balioarekin \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

Egin -\frac{1}{3} bider -40.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

Egin ken \frac{40}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-68$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-68,y=-40$$