Resolver {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (2,12,3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-5y biderkatzeko.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x lortzeko, konbinatu 6x eta -8x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Gehitu 20y bi aldeetan.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y lortzeko, konbinatu -2y eta 20y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20 lortzeko, gehitu -21 eta 1.

$$-2x+18y=-20$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x+18y=-20$$

Egin ken 18y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-18y-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider -18y-20.

$$x=9y+10$$

Ordeztu 9y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}).

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Egin \frac{1}{5} bider 9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Gehitu \frac{9y}{5} eta \frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{73}{35} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=9y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

Egin 9 bider -1.

$$x=-9+10$$

Gehitu 10 eta -9.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (2,12,3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-5y biderkatzeko.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x lortzeko, konbinatu 6x eta -8x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Gehitu 20y bi aldeetan.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y lortzeko, konbinatu -2y eta 20y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20 lortzeko, gehitu -21 eta 1.

$$-2x+18y=-20$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (2,12,3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-5y biderkatzeko.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x lortzeko, konbinatu 6x eta -8x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Gehitu 20y bi aldeetan.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y lortzeko, konbinatu -2y eta 20y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20 lortzeko, gehitu -21 eta 1.

$$-2x+18y=-20$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

-2x eta \frac{x}{5} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

Egin -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} ken -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Gehitu -\frac{2x}{5} eta \frac{2x}{5}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{2x}{5} eta \frac{2x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Gehitu \frac{18y}{5} eta \frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Gehitu -4 eta -\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{146}{35} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

Egin \frac{2}{7} bider -1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Gehitu \frac{2}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$