Resolver {l}{1/2x+y=36}{18x+18y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x + y = 36 } \\ { 18 x + 18 y = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-70$$

$$y=71$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{2}x+y=36,18x+18y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{2}x+y=36$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=-y+36$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(-y+36\right)$$

Egin 2 bider -y+36.

$$x=-2y+72$$

Ordeztu -2y+72 balioa x balioarekin beste ekuazioan (18x+18y=18).

$$18\left(-2y+72\right)+18y=18$$

Egin 18 bider -2y+72.

$$-36y+1296+18y=18$$

Gehitu -36y eta 18y.

$$-18y+1296=18$$

Egin ken 1296 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-18y=-1278$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=71$$

Ordeztu 71 y balioarekin x=-2y+72 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 71+72$$

Egin -2 bider 71.

$$x=-142+72$$

Gehitu 72 eta -142.

$$x=-70$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-70,y=71$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{2}x+y=36,18x+18y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{\frac{1}{2}\times 18-18}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 18-18}\\-\frac{18}{\frac{1}{2}\times 18-18}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 18-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{9}\\2&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 36+\frac{1}{9}\times 18\\2\times 36-\frac{1}{18}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\71\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-70,y=71$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{2}x+y=36,18x+18y=18$$

\frac{x}{2} eta 18x berdintzeko, biderkatu 18 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$18\times \frac{1}{2}x+18y=18\times 36,\frac{1}{2}\times 18x+\frac{1}{2}\times 18y=\frac{1}{2}\times 18$$

Sinplifikatu.

$$9x+18y=648,9x+9y=9$$

Egin 9x+9y=9 ken 9x+18y=648 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9x-9x+18y-9y=648-9$$

Gehitu 9x eta -9x. Sinplifikatu egiten dira 9x eta -9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-9y=648-9$$

Gehitu 18y eta -9y.

$$9y=648-9$$

Gehitu 648 eta -9.

$$9y=639$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=71$$

Ordeztu 71 y balioarekin 18x+18y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$18x+18\times 71=18$$

Egin 18 bider 71.

$$18x+1278=18$$

Egin ken 1278 ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x=-1260$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$x=-70$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-70,y=71$$