Resolver {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+2y=9$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-2y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -2y+9.

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

Ordeztu -y+\frac{9}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-7y=21).

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

Egin 3 bider -y+\frac{9}{2}.

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

Gehitu -3y eta -7y.

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

Egin ken \frac{27}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=\frac{15}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Ordeztu -\frac{3}{4} y balioarekin x=-y+\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

Egin -1 bider -\frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} eta \frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{21}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

Sinplifikatu.

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

Egin 6x-14y=42 ken 6x+6y=27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+14y=27-42$$

Gehitu 6y eta 14y.

$$20y=27-42$$

Gehitu 27 eta -42.

$$20y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Ordeztu -\frac{3}{4} y balioarekin 3x-7y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

Egin -7 bider -\frac{3}{4}.

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

Egin ken \frac{21}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{63}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{21}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$