Resolver {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 15 bi aldeetatik.

$$y-3x=10-15$$

-5 lortzeko, 10 balioari kendu 15.

$$y-3x=-5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$6-4x-y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-4x-y=-6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-3x=-5$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3x-5$$

Ordeztu 3x-5 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-y-4x=-6).

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Egin -1 bider 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Gehitu -3x eta -4x.

$$-7x+5=-6$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{11}{7}$$

Ordeztu \frac{11}{7} x balioarekin y=3x-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Egin 3 bider \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Gehitu -5 eta \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 15 bi aldeetatik.

$$y-3x=10-15$$

-5 lortzeko, 10 balioari kendu 15.

$$y-3x=-5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$6-4x-y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-4x-y=-6$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 15 bi aldeetatik.

$$y-3x=10-15$$

-5 lortzeko, 10 balioari kendu 15.

$$y-3x=-5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$6-4x-y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-4x-y=-6$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

y eta -y berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Sinplifikatu.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Egin -y-4x=-6 ken -y+3x=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x+4x=5+6$$

Gehitu 3x eta 4x.

$$7x=5+6$$

Gehitu 5 eta 6.

$$7x=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{11}{7}$$

Ordeztu \frac{11}{7} x balioarekin -y-4x=-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Egin -4 bider \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Gehitu \frac{44}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$