Resolver {c}{y=x+6}{y=1/2x+4}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=6$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+6$$

Ordeztu x+6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{1}{2}x=4).

$$x+6-\frac{1}{2}x=4$$

Gehitu x eta -\frac{x}{2}.

$$\frac{1}{2}x+6=4$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin y=x+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-4+6$$

Gehitu 6 eta -4.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 4\\-2\times 6+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=2,x=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Egin y-\frac{1}{2}x=4 ken y-x=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-x+\frac{1}{2}x=6-4$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x+\frac{1}{2}x=6-4$$

Gehitu -x eta \frac{x}{2}.

$$-\frac{1}{2}x=6-4$$

Gehitu 6 eta -4.

$$-\frac{1}{2}x=2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin y-\frac{1}{2}x=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{1}{2}\left(-4\right)=4$$

Egin -\frac{1}{2} bider -4.

$$y+2=4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=-4$$