Resolver {c}{y=.5x+1}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { y = .5 x + 1 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-0.8$$

$$y=0.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.5x bi aldeetatik.

$$y-0.5x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-0.5x=1,3y+x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-0.5x=1$$

Gehitu \frac{x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=0.5x+1$$

Ordeztu \frac{x}{2}+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (3y+x=1).

$$3\left(0.5x+1\right)+x=1$$

Egin 3 bider \frac{x}{2}+1.

$$1.5x+3+x=1$$

Gehitu \frac{3x}{2} eta x.

$$2.5x+3=1$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2.5x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-0.8$$

Ordeztu -0.8 x balioarekin y=0.5x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=0.5\left(-0.8\right)+1$$

Egin 0.5 bider -0.8, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-0.4+1$$

Gehitu 1 eta -0.4.

$$y=0.6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=0.6,x=-0.8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.5x bi aldeetatik.

$$y-0.5x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-0.5x=1,3y+x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2+1}{5}\\\frac{-6+2}{5}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6\\-0.8\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=0.6,x=-0.8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.5x bi aldeetatik.

$$y-0.5x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-0.5x=1,3y+x=1$$

y eta 3y berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3,3y+x=1$$

Sinplifikatu.

$$3y-1.5x=3,3y+x=1$$

Egin 3y+x=1 ken 3y-1.5x=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3y-3y-1.5x-x=3-1$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-1.5x-x=3-1$$

Gehitu -\frac{3x}{2} eta -x.

$$-2.5x=3-1$$

Gehitu 3 eta -1.

$$-2.5x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-0.8$$

Ordeztu -0.8 x balioarekin 3y+x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3y-0.8=1$$

Gehitu 0.8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=1.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=0.6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=0.6,x=-0.8$$