Resolver {c}{y=-3x+1}{y=x-7}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = x - 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$y+3x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+3x=1$$

Egin ken 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-3x+1$$

Ordeztu -3x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=-7).

$$-3x+1-x=-7$$

Gehitu -3x eta -x.

$$-4x+1=-7$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-3x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-3\times 2+1$$

Egin -3 bider 2.

$$y=-6+1$$

Gehitu 1 eta -6.

$$y=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-5,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$y+3x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-5,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$y+3x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Egin y-x=-7 ken y+3x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+3x+x=1+7$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x+x=1+7$$

Gehitu 3x eta x.

$$4x=1+7$$

Gehitu 1 eta 7.

$$4x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y-x=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2=-7$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-5,x=2$$