Resolver {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=6$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y+6$$

Ordeztu 6+3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x-y=6).

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

Egin -8 bider 6+3y.

$$-24y-48-y=6$$

Gehitu -24y eta -y.

$$-25y-48=6$$

Gehitu 48 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-25y=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25 balioarekin.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Ordeztu -\frac{54}{25} y balioarekin x=3y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

Egin 3 bider -\frac{54}{25}.

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{162}{25}.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

x eta -8x berdintzeko, biderkatu -8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

Sinplifikatu.

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

Egin -8x-y=6 ken -8x+24y=-48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y+y=-48-6$$

Gehitu 24y eta y.

$$25y=-48-6$$

Gehitu -48 eta -6.

$$25y=-54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Ordeztu -\frac{54}{25} y balioarekin -8x-y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

Egin ken \frac{54}{25} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=\frac{96}{25}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$