Resolver {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=37$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=37).

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Egin 4 bider y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Gehitu 4y eta -3y.

$$y+12=37$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=25$$

Ordeztu 25 y balioarekin x=y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=25+3$$

Gehitu 3 eta 25.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=25$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=37$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=28,y=25$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=37$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Sinplifikatu.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Egin 4x-3y=37 ken 4x-4y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+3y=12-37$$

Gehitu -4y eta 3y.

$$-y=12-37$$

Gehitu 12 eta -37.

$$-y=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=25$$

Ordeztu 25 y balioarekin 4x-3y=37 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-3\times 25=37$$

Egin -3 bider 25.

$$4x-75=37$$

Gehitu 75 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=112$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=25$$