Resolver {c}{x^2+y^2=100}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 100 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{\sqrt{199}+1}{2}\approx 7.55336799\text{, }y=\frac{1-\sqrt{199}}{2}\approx -6.55336799$$

$$x=\frac{1-\sqrt{199}}{2}\approx -6.55336799\text{, }y=\frac{\sqrt{199}+1}{2}\approx 7.55336799$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=100$$

Ebatzi x+y=1 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+y=1$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+1$$

Ordeztu -y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=100).

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=100$$

Egin -y+1 ber bi.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=100$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=100$$

Egin ken 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}-2y-99=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 balioa b balioarekin, eta -99 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-99\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1\times 1\left(-1\right)\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-99\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-99\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -99.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+792}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta 792.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{796}}{2\times 2}$$

Atera 796 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{199}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$y=\frac{2±2\sqrt{199}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{199}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2±2\sqrt{199}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2\sqrt{199}.

$$y=\frac{2\sqrt{199}+2}{4}$$

Zatitu 2+2\sqrt{199} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{199}+1}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2±2\sqrt{199}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{199} ken 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{199}}{4}$$

Zatitu 2-2\sqrt{199} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{1-\sqrt{199}}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{1+\sqrt{199}}{2} eta \frac{1-\sqrt{199}}{2}. Ordeztu \frac{1+\sqrt{199}}{2} balioa y balioarekin x=-y+1 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{\sqrt{199}+1}{2}+1$$

Orain, ordeztu \frac{1-\sqrt{199}}{2} balioa x=-y+1 ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{1-\sqrt{199}}{2}+1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{\sqrt{199}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{199}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{199}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{199}}{2}$$