Resolver {c}{x=6+y}{4y=-2x}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 6 + y } \\ { 4 y = - 2 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$4y+2x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=6$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+6$$

Ordeztu y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=0).

$$2\left(y+6\right)+4y=0$$

Egin 2 bider y+6.

$$2y+12+4y=0$$

Gehitu 2y eta 4y.

$$6y+12=0$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2+6$$

Gehitu 6 eta -2.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$4y+2x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$4y+2x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 6,2x+4y=0$$

Sinplifikatu.

$$2x-2y=12,2x+4y=0$$

Egin 2x+4y=0 ken 2x-2y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-2y-4y=12$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-4y=12$$

Gehitu -2y eta -4y.

$$-6y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 2x+4y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\left(-2\right)=0$$

Egin 4 bider -2.

$$2x-8=0$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-2$$