Resolver {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-5 biderkatzeko.

$$x-5=4y-20$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$x-5-4y=-20$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$x-4y=-20+5$$

-15 lortzeko, gehitu -20 eta 5.

$$x-4y=-15$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y+2$$

Ordeztu 3y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-4y=-15).

$$3y+2-4y=-15$$

Gehitu 3y eta -4y.

$$-y+2=-15$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=17$$

Ordeztu 17 y balioarekin x=3y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\times 17+2$$

Egin 3 bider 17.

$$x=51+2$$

Gehitu 2 eta 51.

$$x=53$$

Ebatzi da sistema.

$$x=53,y=17$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-5 biderkatzeko.

$$x-5=4y-20$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$x-5-4y=-20$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$x-4y=-20+5$$

-15 lortzeko, gehitu -20 eta 5.

$$x-4y=-15$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=53,y=17$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-5 biderkatzeko.

$$x-5=4y-20$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$x-5-4y=-20$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$x-4y=-20+5$$

-15 lortzeko, gehitu -20 eta 5.

$$x-4y=-15$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Egin x-4y=-15 ken x-3y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+4y=2+15$$

Gehitu -3y eta 4y.

$$y=2+15$$

Gehitu 2 eta 15.

$$y=17$$

Ordeztu 17 y balioarekin x-4y=-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-4\times 17=-15$$

Egin -4 bider 17.

$$x-68=-15$$

Gehitu 68 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=53$$

Ebatzi da sistema.

$$x=53,y=17$$