Resolver {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+9$$

Ordeztu -y+9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+5y=39).

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Egin 4 bider -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Gehitu -4y eta 5y.

$$y+36=39$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-y+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3+9$$

Gehitu 9 eta -3.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Sinplifikatu.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Egin 4x+5y=39 ken 4x+4y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-5y=36-39$$

Gehitu 4y eta -5y.

$$-y=36-39$$

Gehitu 36 eta -39.

$$-y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 4x+5y=39 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+5\times 3=39$$

Egin 5 bider 3.

$$4x+15=39$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=3$$